求极限

\[\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sin(\sin(\cdots(\sin x)))\] 

($n$ 次复合函数).

若记 $a_1=\sin x$, $a_n=\sin(a_{n-1})$. 即 $a_n=\sin(\sin(\cdots(\sin x)))$, ($n$ 次复合函数). 则证明

\[
\prod_{n=1}^{\infty}\cos a_n
\]

发散.

若记 $d_n=a_n-a_{n+1}$, 则可以证明:

Claim 1.   $\{d_n\}$ 严格递减趋于 0.

Claim 2.  $\frac{1}{2}d_{n+1} < \sin\frac{d_n}{2}$.

Claim 3.  $d_n < \sin d_{n-1}$.

Claim 4.  $\frac{d_{n+1}}{d_n} < \cos\frac{d_n}{2}$